圆是初中数学的重要图形之一，圆中含有一些较为特殊的性质，合理利用可以巧妙解题。
所谓的辅助圆是，图中无圆，心中有圆，题目从表面上看与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙的构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化难为易的效果。
构造辅助圆应以圆的基本知识为出发点，总结归纳几何模型，利用模型的解析思路来处理问题，下面举例探究。
01模型解析
模型一：直角模型
“直径对直角”是圆的重要性质定理，即圆的直径所对的圆周角为直角，据此可以构建相应的直角模型。如图l，A，B，C均在圆O的圆周上，若∠ACB=90°，则AB为⊙O的直径.进一步拓展，若点C为一动点，则点C在以AB为直径的⊙O上运动。
模型二：最值模型
利用圆的特性可以确定两点之间的距离最值，即常见的最值模型。如图2，点P是⊙O外一点，直线0P与⊙O相交于A，B两点，设点A为圆上相对于点P的近点，点B是远点，那么PA就为点P到圆上的最短距离，PB就为点P到圆上的最远距离，圆的最值模型可用于分析几何线段最值问题.
模型三：四点共圆模型
拓展圆内接四边形对角互补的性质，可知如果一个四边形的一组对角互补，则其四个顶点共圆。
对其进一步挖掘可得圆的“四点共圆“模型，具体如下：
如图3，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边AB，点O为AB的中点，由直角三角形斜边中线特性可知OC=OD=OA=OB，所以A，B，C，D四点共圆.利用共点共圆可进一步结合圆周角定理来转化为角度相等，从而完成模型向等量关系的转化，这是证明几何角度问题的常用方法.
02典例剖析
1.在边长为2的菱形中，∠A=60°，M是AD边上的中点，N是AB边上的一个动点，将△AMN沿着MN所在直线翻折，得到△A’MN,连接A’C,则A’C的最小值是______.
2.如图，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是______．
解析：无论点E、F如何运动，都存在△ABE≌△DCF，那么∠ABE=∠DCF，也存在△ADG≌△CDG，那么∠DAG=∠DCF，等量代换有：∠ABE=∠DCF，所以，∠ABE ∠GAB=90°，所以∠AHB=90°，说明无论动点怎么动，始终保持∠AHB=90°，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”，构造以AB为直径的圆，点H就是正方形内圆上的动点。
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连结DE，点E作DE的垂线交AB于点F．在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边△EFG，则边EG的中点H所经过的路径长是_______。
【解析】连接FH，取EF的中点M，连接BM，HM，依据BM＝EM＝HM＝FM，可得点B，E，H，F四点共圆，连接BH，则∠HBE＝∠EFH＝30°，进而得到点H在以点B为端点，BC上方且与射线BC夹角为30°的射线上，再过C作CH'⊥BH于点H'，根据点E从点B出发，沿BC边运动到点C，即可得到点H从点B沿BH运动到点H'，再利用在Rt△BH'C中，BH'＝BCcos∠CBH'＝3×＝，即可得出点H所经过的路径长是．
4.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝4，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是_______.
【解析】：如图，取AD的中点M，以点M为圆心，半径为2画圆，
点A、D、H都在圆M上，连接BM，BD，
∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，
所以当点B、H、M三点在同一条直线上时，BH最短，
此时BH＝BM﹣HM＝8﹣2＝6．所以BH的最小值为6．
03解后思考
上述举例探索了构造辅助圆，利用圆的模型简化解题过程的思路.构造辅助圆是几何问题解析的重要策略，尤其适用于涉及动点的几何问题，下面提出三点建议。
1.关注模型本身，深刻理解模型
上述所呈现的直角模型、最值模型、四点共圆模型是圆中特殊的三大模型，也是构造辅助圆解题的典型代表学习模型时，需要关注模型本身，理解模型的知识本质，包括模型对应的圆的性质、知识原理等，如直角模型实则是圆的“直径对直角“性质，最值模型则是“两点之间，线段最短“原理的拓展，“四点共圆”则是对圆周角定理的变式拓疑。
在实际教学中，教师需要引导学生从因的性质定理出发，理解模型本质，以定理定义为依托，开展模型教学。
2.添加辅助圆，学习构造方法
利用圆的模型解题的关键一步是添加辅助圆，即几何构造，其构造的基础是理解题意，所以掌握添加辅助圆的常规方法是十分必要的。
辅助圆的添加方法有很多种，具体可归纳为以下三种：
一是利用圆的定义添加辅助圆，即三个及以上的点到同一点的距离相等作圆；
如图，OA=OB=OC,则点A/B/C三点共圆
二是作三角形的外接圆，即任意不在同一直线上的三点共圆，也是由圆周角推论所得；
如定弦对定角
三是利用四点共圆，一般有两种思路，可用四边形的对角互补，也可利用同底同侧有相等顶角的三角形。
在实际教学中，建议教师根据具体的问题情境开展辅助圆构造法教学。引导学生总结问题特点，结合问题指导构造思路。
3.渗透数学思想，提升数学思维
开展解题方法教学的核心主要有两个：一是指导学生掌握解题技巧，二是提升学生的数学思维其中后者对学生的长远发展最为重要，也是课改理念所在在教学中，学生思维的提升可具体到思想上，即教学中合理地渗透数学思想，引导学生利用对应的思想开展问题分析、转化。如上述添加辅助圆，利用圆类模型的解题过程渗透构造思想、模型思想、化归与转化思想、数形结合思想，正是在这些思想的融合下完成了辅助线添加、问题转化、思路构建。因此，需要教师结合数学思想开展解题方法教学，使学生理解思想内涵，内化方法，逐步提升思维水平。
04写在最后
辅助圆在解题时堪称雪中送炭的楷模，有时难想，有时也不难想．当看到明显的四点共圆之类的条件，辅助圆必不可少．而不明显的，观察是否有公共顶点的线段相等，然后将顶点看作圆心，通过辅助圆来将角的关系和边的关系转化。
圆是学生在初中阶段唯一接触的曲线图形，本身具有诸多的几何性质，深刻理解可用于几何问题求解，对于一些涉及动点的问题，可通过添加辅助圆来帮助学生理解题意上述所呈现的是其中较为常用的三大圆类模型，其解析方法和构造思路具有一定的参考价值，在实际教学中建议教师从圆的基本性质入手，指导辅助线添加的方法，引导学生深刻理解模型，形成模型解题的方法策略。同时重视数学思想方法的渗透，以提升学生的综合素质。
总而言之，辅助圆是一个很好的工具，它不仅帮助我们开拓了解题的思路，在锻炼数学逻辑能力上也起到了很好的辅助作用。
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