【人人都能欣赏的数学证明】为什么有无限多个素数?

2020-04-29 05:27:46 掰掰娱乐

【人人都能欣赏的数学证明】为什么有无限多个素数?

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据说很多学生对数学课堂中的数学证明十分恐惧,甚至毕业多年后数学证明依然是许多人关于数学的痛苦回忆。

《职业数学家在民间》公众号决定开设一个专栏:

【人人都能欣赏的数学证明】

希望专栏的文章能够扭转大家对数学证明的错误印象。数学证明非但不可怕,而且在数学家的眼里,一段真正的数学证明恰似一首符号的诗歌,一曲逻辑推理的乐章。

从数学普及的角度来看,只普及一些数学定理和结论是远远不够的,没有了解相关的数学证明只会“知其然,不知其所以然”。另外,数学普及只限制在中学生,数学教师,有理工科背景的数学爱好者这个范围内也是远远不够的。如何让更宽广的公众们完全理解高高在上的抽象数学证明对于我们而言是一个巨大的挑战。

据说白居易写诗但求“老妪能解”,他的诗一定要修改到连不识字的老太婆都能听懂为止。同样地,我们的专栏文章在正式发布之前,也会找一些小学生,和没有数学背景的人,让他们提意见,一直修改到他们能读懂为止!我们力求做到:

人人都能读懂这个专栏里的数学证明,

人人都能欣赏这个专栏里的数学证明!

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我们今天要介绍的,是公元前300年左右,古希腊数学家欧几里德写在《几何原本》中的一个古老定理(欧几里德定理)和它的证明,距今已有两千多年的历史了。

在开始介绍这个古老定理和它的证明之前,大家需要先耐心了解几个简单的背景知识。这可能需要您付出一点点的时间和专注力,但我保证这种付出是值得的,尤其是当您完全理解了这个定理和它的证明,并为之赞叹的时候。

我把这些背景知识分成六条,熟悉这些知识的读者可以跳过去直接阅读后面。

一,自然数,又称正整数,指1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12……

二,素数,又称质数,指那些大于1,且不能分解成更小的两个正整数乘积的正整数。

比如:1 不是素数。2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 和 31 都是素数。但是 4,6,8,15,21和24都不是素数,因为:

4=2×2;6=2×3;8=2×4;

15=3×5;21=3×7;24=3×8。

三,倍数:我们把正整数a和任何整数的乘积都称为a的倍数,所以下面这些数都是正整数a的倍数

……-3a,-2a,-a,0,a,2a,3a,4a……

比如 0,5,10,-15 都是5的倍数;-7,7,14,21 都是7的倍数;13,26,39都是13的倍数。但是11不是5的倍数;20不是7的倍数;18不是4的倍数。

四,如果正整数b和c都是a的倍数, 那么b+c和b-c也都是a的倍数。

既然b和c都是a的倍数, 那它们分别可以写成b=ma,c=na,其中 m 和 n 都是整数。根据乘法分配律

b+c=ma+na=(m+n)a;

b-c=ma-na=(m-n)a。

所以b+c和b-c也都是a的倍数。

五,每个大于1的正整数,如果不是素数,则一定可以分解成素数的乘积。

这个知识点不难理解,因为根据素数的定义,一个大于1的正整数,如果不是素数,则一定可以分解成更小的两个正整数乘积,如果这两个数不全是素数,我们可以继续将其分解,直到所有的因子都是素数。比如:

12=4×3=2×2×3;

63=9×7=3×3×7;

105=3×35=3×5×7;

108=4×27=2×2×3×9=2×2×3×3×3。

六,每个大于1的正整数n,一定是某个素数q的倍数。

如果这个正整数n本身就是素数,那它当然是自身的倍数。如果n不是素数,根据第五个知识点,它可以分解成素数的乘积,所以它也一定是某个素数q的倍数。

如果您完全理解了以上六个知识点,那么恭喜您,您已经做好充分的准备,可以开始和我们一起品味一段优美的数学证明。

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上面的第五个知识点告诉我们,所有大于1的整数,就算不是素数,也都可以分解成素数的乘积,因此可以说素数是整数大厦的基石和砖瓦。所以我们要了解整数,首先要了解素数。接下来古老的定理要登场亮相了:

(欧几里德定理)素数的个数是无限的.

如何说明有无限个素数呢?最直接的方法就是不停地,疯狂地寻找更多的素数:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, 31,37,41,43,47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 ,89, 97 ,101, 103 ,107,109 ,113………

当你找到许多个素数的时候,你可能会跑到我面前说:

“看!我不断地找下去,总能发现新的素数,所以,肯定有无限个素数。”

这个理由可以说服很多人相信确实有无限多个素数。

但是,这是数学证明吗?

不是!

哪怕你找到天崩地裂,找到海枯石烂,找到100000000000000000000000000000000000000000000000000000个素数,也不是替代真正的数学证明!

因为你在有限时间内,只能找到有限个素数,不管你用尽什么方法!

好了,别哭了,站起来!是时候和过去的思维方式说再见了,让我们一起走进真正的数学证明!

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既然在有限时间内,只能找到有限个素数,那么我们必须要走另一条完全不一样的路!

不妨假设这个定理是

错的,错的,错的,错的,错的

证明:假设素数的个数是有限的。

那我们就可以把这仅有的有限个素数按照从小到大的顺序完全罗列下来,一个不漏:

2,3,5,7,11,13,17,……,p

这里 p 表示最后一个素数。

(这里,可能会有人抗议:证明中的有限个素数可能很多,可能是百亿个,万亿个,亿亿个,为什么能写成一行?这恰恰体现了数学符号的威力,一个省略号就可以表示几个亿亿,一个小小的 p 也可以表示一个天文数字。)

我们让这些仅有的素数全部相乘,再把这个乘积加上1

(为什么要加上1呢?这恰恰是整个证明过程中最精妙的地方,您们看到后面将会恍然大悟)

就会得到一个很大的正整数 n

n=2×3×5×7×11×13×17×………×p+1

(回忆第六个知识点:每个大于1的正整数n,一定是某个素数q的倍数。)

根据第六个知识点,n必然是某个素数q的倍数。但是这个素数q 必然是落在我们所罗列的仅有的有限个素数中,所以上述的乘积2×3×5×7×11×13×17×………×p 也一定是 q 的倍数。根据第四个知识点,

(回忆第四个知识点:如果正整数b和c都是a的倍数, 那么b+c和b-c也都是a的倍数。)

既然 n 和 2×3×5×7×11×13×17×………×p 都是q 的倍数,那么

1=n-2×3×5×7×11×13×17×………×p

也一定是素数q 的倍数。

但是,注意了,1,不可能是素数q 的倍数。

(这就是当初我们为什么要取n为乘积2×3×5×7×11×13×17×………×p加上1的原因,目的是为了直截了当地推导出矛盾)

这样我们就得到矛盾,所以先前的假设不成立,素数的个数是无限的。

证明完毕

如果您读到了这里,并完全读懂了上面的内容,那么恭喜了,您已经打开了一扇数学之门。

【来源】职业数学家在民间。

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