库伦作用无尽期，动量蒙卡寄相思|动量|布里渊|库伦|算法|量子

白石道人姜夔，南宋词人，一生布衣游食四方，存词只有80余首，不算高产（虽然他21岁写下的《扬州慢.淮左名都》入选中学语文课本，诸君可以想想自己21岁时在做什么）。但在他43岁那年的正月里，情感不知为何受到了大的扰动，爆发似的一口气写下一组五首《鹧鸪天》（准确地说是从正月初一到正月十六，从第一首《鹧鸪天.丁巳元日》到第五首《鹧鸪天.十六夜出》），曲折地追怀自己生命中一段年轻的爱情，五首皆为精品。43岁在今天仍是青年（比如现在很多地方青年以45岁为限），而古人已自视为老年了。可是就在彼时，潦倒的老词人被内心中深埋的情感所激励，创造出如许优美的文字，其中隐隐的心跳，急促的呼吸，升高的血压与强忍的失眠和泪，更升华到对于美好情感的普适追求，八百年后读之仍然鲜活。

当然，我们这里不是诗词鉴赏栏目，我们只谈对于生命中美好事物的追求。且看其中第四首：

《鹧鸪天.元夕有所梦》

肥水东流无尽期，当初不合种相思。梦中未比丹青见，暗里忽惊山鸟啼。

春未绿，鬓先丝，人间别久不成悲。谁教岁岁红莲夜，两处沉吟各自知。

头两句就是我们这篇文字题目的来源。姜夔在睡梦中追忆自己青年时的恋人，在我们后人看来，除了个人生活中的伤情，这好似淡漠的句子中其实寄托着人生绵绵不绝的悲凉、久违和一再错过的沧桑，是普适的人类情感和人生体验。词人通过他的艺术，对于困厄现实进行了美的升华，也让自己在对于美好事物的追求中，超越个体的悲欢。这才是艺术 -- 也包括科学 -- 让一代代人前赴后继的动力：让我们从个体的悲欢起，超脱到人类的悲欢止，这追求本身，就是寄托。

书归正题，最近有五个人完成了一项凝聚态物理学的研究工作，承蒙编辑部和 Referee 的支持，发表在最近一期的Chinese Physics Letter [1]。

Received 28 May 2021; online 4 June 2021

EXPRESS LETTER

Xu Zhang (张栩), Gaopei Pan (潘高培), Yi Zhang (张燚), Jian Kang (康健), and Zi Yang Meng (孟子杨)

Chin. Phys. Lett. 2021 38 (7): 077305

文章发展了动量空间量子蒙特卡洛算法，处理转角石墨烯等二维量子材料中涌现出的长程库伦相互作用问题。长程的库伦相互作用，是关联电子系统中长期以来的普遍性难题之一（所以也就有意思，有它的美妙之处），比如量子霍尔效应或者分数量子霍尔效应这样的二维系统，电子之间存在的就是长程库伦相互作用。对于这样的系统，幸好有 Laughlin 猜出的波函数，作为很多情况下的理论极限，让人们有可以下手的地方，否则真是望费米海而兴叹了。而从量子多体问题严格数值计算的角度出发，发展出具有普适性、系统性的解决方案的尝试，一直没有成功。与具有短程相互作用（屏蔽之后）的 Hubbard 模型、海森堡模型等问题中量子蒙卡、张量网络大显身手不断取得进展相比，具有长程库伦相互作用的二维关联电子系统的数值求解，一直没有方法上的突破，显得寂寞和冷清。

近几年来，随着转角石墨烯，过渡金属二硫化物等更加优异的二维关联量子材料的出现，尤其是这些材料中也观察到了关联绝缘体、超导等短程相互作用材料（如高温超导）和模型（如 Hubbard 模型）中常见的典型量子多体物态 (见文献 [2])，如何求解长程库伦相互作用，如何发展出像严格求解实空间短程相互作用的 Hubbard 模型的行列式量子蒙特卡洛算法等问题，就又被大家提起和关注。人们都知道，要想求解长程相互作用，需要走向动量空间。这是因为在实空间中，无论如何扩大截断范围，仍是短程相互作用，而与扩大截断范围所伴随的计算复杂度的增长，很快就会超出目前计算能力的极限。问题是，谁能成功地走出第一步，成功地在动量空间的相互作用模型中发展出量子蒙特卡洛算法，得到正确的结果，为后续的进展指出方向。

图1. (a) 转角石墨烯的布里渊区和摩尔布里渊区，以及动量空间蒙卡所处理的摩尔布里渊区和有限的动量传递。（b）, （c）动量空间蒙卡有限晶格计算所得的单粒子能隙与严格解的对比。(图片来自文献 [1])

这篇文章就是回应这普适追求的一个尝试，只是起步，得到了一点有益的结果。我们发现采用动量空间的转角石墨烯有效模型，考虑长程库伦相互作用（投影到平带），在一些参数范围内可以用行列式量子蒙特卡洛方法严格求解，也从数学上证明了算法可以有效工作的原因（术语叫如何避免符号问题）。具体的推导和结果，感兴趣的同学和专家可以深入文章 [1]，与已知的严格结论的 benchmark 对比，在图1中展示。当然这只是开始，还有太多需要完善的地方，比如如何考虑材料中实际的能带效应，如何在动量空间中计算不同的物理可观测量等。这些具有普遍意义的问题就是吸引着从业人员不断追求下去的动力。

“库伦作用无尽期，动量蒙卡寄相思”，一如八百年前的姜白石，正是这对于具有普适意义的科学问题的追求，给了我们超越个体悲欢的寄托，推动着领域前进。

参考文献：

[1] Momentum space quantum Monte Carlo on twisted bilayer Graphene
Xu Zhang, Gaopei Pan, Yi Zhang, Jian Kang, Zi Yang Meng

[2]. 转角石墨烯的三昧，物理, 2021, 50(5): 348-352，

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