菱形存在性探究（2020年重庆A卷第25题）
菱形作为特殊平行四边形，其特点是四条边相等，对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角。如果我们换个角度来看菱形，其实它任意三个顶点可构成一个等腰三角形，因此在探究菱形存在性的时候，不妨与等腰三角形存在性相比较，或许能让思路更简洁一些。
题目
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A(-3，-4)，B(0，-1).
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a1x+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
解析：
0 1
(1)将点A、B坐标分别代入抛物线解析式中，解出b=4，c=-1，所以y=x+4x-1；
0 2
(2)方法一：直接求面积
过点P作y轴的平行线，交AB于点M，如下图：
用铅垂法求面积，点A，点B的横坐标相差3，设点P为(t,t+4t-1)，直线AB的解析式求出来是y=x-1，所以表示出点M的坐标为(t,t-1)，因此得到PM=t-1-(t+4t-1)=-t-3t，然后表示出△PAB的面积S=1/2(-t-3t)×3=-3/2(t+3/2)+27/8，即△PAB面积的最大值为27/8；
方法二：等面积转换
作直线l∥AB，且与抛物线只有唯一公共点，与y轴交于点N，如下图：
因为l∥AB，所以设直线l为y=x+d，与抛物线联立得：
x+d=x+4x-1，整理后得x+3x-1-d=0，判别式△=9+4d+4=0，解得d=-13/4，那么直线l为y=x-13/4，则N点坐标为(0,-13/4)，显然在图中，△PAB与△NAB面积相等，而△NAB的面积很容易求，结果是27/8；
0 3
(3)平移抛物线时，通常将抛物线解析式化为顶点式，更容易一点，y=(x+2)-5向右平移2个单位长度之后得到y=x-5，将两式联立得(x+2)-5=x-5，解得x=-1，所以C(-1,-4)；
点D在x=-2上，可设其坐标为(-2,m)，只要D、C、B能构成等腰三角形，则菱形一定存在
①作BC的垂直平分线，与x=-2的交点即为点D，如下图：
先求直线BC的解析式为y=3x-1，点G坐标为(-1/2,-5/2)，则BC的垂直平分线解析式为y=-1/3x-8/3，它与x=-2的交点为(-2,-2)，最后由中点公式求出点E(1,-3)；
②以B为圆心，BC为半径作弧，交x=-2于两点，我们先求其中之一，如下图：
BC=√10，因此BD=√10，过点B作x=-2的垂线BH，在Rt△BDH中求出DH=√6，所以先得到点D(-2,-1-√6)；
由菱形对边平行，点D相对于点B，向左平移2个单位，向下平移√6个单位，点E相对点C是一样的，于是将点C向左平移2个单位，向下平移√6个单位后得到E(-3,-4-√6)；
再来求另一个，如下图：
其实这和前一个E点的求法是类似的，结果为E(-3,-4+√6)；
③以C为圆心，BC为半径作弧，与x=-2又得到两个交点，如下图：
过点C作x=-2的垂线CK，易得CD=√10，CK=1，于是求出DK=3，所以D(-2,-1)，同前面的方法求出E(-1,2)；
而另一个点(-2,-7)，正好在直线BC：y=3x-1上，无法构成菱形；
综上所述，总共有四个结果(-1,-3)，(-3,-4+√6)，(-3,-4-√6)，(-1,2).
解题反思
很多时候，在给学生讲题的时候，有的老师喜欢用几何画板演示，一拖一拽，动点一动，轨迹一显示，交点就出来了，其实这并不利于学生理解，而仅仅凭数学语言描述，也达不到效果，最佳方法是师生共同操作，共同使用相同的绘图工具尝试，这也是尺规作图在整个初中阶段的基本运用，因此在本题后面分类讨论的时候，将菱形存在性先转换成等腰三角形性存在性，目的也在于可以使用圆规进行作图探索，解析中存在大量绘图语言，也正是为此。
老师研究题目和学生解题，最大的不同在于老师可使用的工具较多，接触到的题目较多，从而形成了老师的解题“套路”，但套路是不可以直接教给学生的，正如上乘武功心法，不过几句口诀，然而却是经年累月的苦练方可领悟，学生不经历苦练而直接上手技巧，属于不走正道，走火入魔是必然的，具体表现就是一听就“会”，一做就错。
而课堂教学的任务之一，就是想办法让学生的苦练更有效率。
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