数字可谓是数学系统中最基本的单元，它们所拥有的特性已经让数论家为之着迷了上千年。数字可被分为不同的类型，如自然数、整数等等，不同种类数字之间又各自有着一定的关联，并且有着一些与它们相关的数学问题。
平方数是数学中非常重要的一个概念，比如在毕达哥拉斯定理中，直角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。可以说，平方数是几何学的基础。
平方数与许多数学问题相关。以4为例，这个在0和1之后的第一个平方数，就与“四色定理”息息相关。四色定理说的是用4种不同的颜色，给平面上的地图着色，能使地图上任意相邻的部分具有不同的颜色。1770年，拉格朗日证明了所有的整数都可以由4个数的平方数表示，也就是所谓的四平方和定理，它是费马平方和定理的一个特例。
立方数的概念与平方数类似。在数论中，一个与之有关的未解谜题就是：是否每一个整数，都能被表示为三个整数的立方和？即是否存在整数k、x、y、z，使得对于所有的k，都满足等式k = x + y + z。这个问题自提出之后，便难倒了一众数学家。直到2019年，100以内的整数才被全部求解。
除此之外，与立方数有关的数学问题还有立方数的华林问题，它说的每个正整数都可被写成9个正立方数之和；另外，已被解决的费马大定理中，也是探讨立方数的一个典型例子。
如果数字界有明星，那么素数一定是其中顶流中的C位。
两千多年前，欧几里得就证明了素数有无穷多个。自那之后，素数就成为了一代又一代的数学家为之着迷的课题。在数轴上，素数一开始有很多，比如1-10中就有4个素数；但在从长1位的数字到长10位的数字之间，只有4%的数字是素数。
素数是数学中一些重大问题的核心，有大量数学问题都与它有关，例如孪生素数猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想等等。而研究这些问题，不仅仅是为了满足处于人类智慧金字塔顶端的那些数学家们的好奇心。素数也可用于加密信息，可以说，素数是现代密码学的基础，它与现代生活的方方面面相关。更好地理解素数之间的间隔、素数的分布、预测素数的出现，至今仍是许多数学家的研究目标。
自然数的连续求和所得就是三角形数；而两个相邻的三角形数之和是一个平方数。因此，这自然就产生了一个与之相关的重要问题：三角形数中是否存在平方数？
答案显然是肯定的，在三角形数中，最小的平方数是36，而这样的三角形平方数有无穷多个。与三角形数相似的还有正方形数、六边形数等等，顾名思义，它们是可以被排列成正方形以及六边形的点（或圆）的数。
完全数的定义并不难理解，而找到一个完全数、证明一个数是完全数却很难。对完全数的寻找可追溯到古希腊时期，但漫长的时间过去了，我们仍只找到51个完全数。前四个完全数都是由欧几里得发现的，而最大的一个直到2018年才被发现，它的大小接近5千万位数字，比2017年发现的第50个完全数多了300多万位。
在计算机和更好的数学技术的帮助下，现在发现一个完全数已不像过去那么艰难，但仍有许多问题需要进一步探索。与之相关的问题有很多，比如所有的完全数有什么共同的性质吗？偶数完全数的数量是无穷的吗？存在奇数完全数吗？
1202年，比萨的莱奥纳多在著作《算盘书》中写到了一个关于兔子增殖的问题，描述了假设兔子长生不老，那么从一对兔子开始，一季之后兔子的数量会如何增长。他得出兔子的数量会遵循这样一个序列增长：从第三个数开始，每个数等于前两个数之和。序列中的每一项就叫做斐波那契数。现在，斐波那契数被广泛用于对真实生物种群的研究中。
斐波那契数有许多有趣的规律，比如它与黄金分割数φ关系密切，斐波那契数之间的比约等于φ。再比如将斐波那契数的倒数相加，会得到一个无理数，即一个不能用分数表示的数。此外，在上文中提到的那些数中，唯一的非平凡的斐波那契平方数是144；而1、3、21、55是仅有的斐波那契三角形数；斐波那契数不可以是完全数。
斐波那契数中有许多素数，已知最大的斐波那契素数有数千万位。而斐波那契素数是否有无穷多个，亦是数学家至今没有答案的问题。
复数的出现源自于对三次方程的求解，“复”不在于“复杂”，而在于强调它是由两种不同的数字复合而成的数。它是代数等一些较复杂数学领域的基础，它的出现，满足了我们在求解多项式方程过程中对数字的需求。这一切都得益于虚数概念的引入，它是一种抽象概念，与负数的平方根有关。
但复数又并非只是一个抽象的数学概念，在许多现实应用中，复数都扮演着重要的角色，尤其是在电子学和电磁学方面。此外，还有一些新的数字系统衍生自复数，例如在19世纪发展起来的四元数就是复数的一种扩展，现在主要用于计算机图形学。
与复数相关的数学领域有很多，例如数学中最著名的一个未解问题——黎曼假设，就属于复分析领域的问题。
什么是无穷？这是一个非常古老的问题。无穷代表无穷无尽，比如没有尽头的宇宙，或者一张没有尽头的列表……这种无限性被亚里士多德称为“潜无穷”，表示它确实存在，但我们永远无法真正见到它。
数学世界所涉及到的无穷都是潜无穷，比如自然数，再比如一条无限长的直线。那么，一条直线所表示的无穷是否与自然数所表示的无穷相同？数学家将无穷区分为“可数”无穷和“不可数”无穷，前者指的是像自然数集合那样的，假如可以的话集合中的所有元素能被一一列出的无穷集合；而后者指的是那些无论如何列表，一定会漏掉一些元素的几何，就像正实数那样。
那么无穷与无穷之间，存在大小之分吗？当我们比较有限集合的大小时，会检查一个集合中的所有元素是否与另一个集合的元素能一一对应，如果是，那么这两个集合有着相同的大小，即有着相同的基数。将这种方法延伸到无穷几何，以自然数和直线为例，会发现所有自然数集合中的元素也都存在于直线集合中；但无论如何列举直线集合中的元素，都一定会漏掉一些元素。因此，直线的基数是大于自然数的基数的，意味着两个无穷存在大小之分。
数学领域中的许多未解问题实则都是对无穷与否的探讨，所有这些所讨论的都属于潜无穷的范畴。其实亚里士多德还提出了“实无穷”的概念，它指的是那些可被测量的东西，比如在某时某地某物的温度。不过亚里士多德认为，实无穷在物理世界中不存在，但至今物理学家们仍都不知道他的这种说法是对还是错。
文：佐佑
图：穿花衣的雯雯子
参考来源：
https://plus.maths.org/content/what-infinity
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_number_theory_topics#Modular_arithmetic
https://www.britannica.com/science/number-theory/Pierre-de-Fermat
http://cse.unl.edu/~choueiry/F07-235/files/NumberTheoryApplications.pdf
https://byjus.com/maths/number-theory/#topics
https://www.quantamagazine.org/the-map-of-mathematics-20200213/
https://www.math.brown.edu/~jhs/frintch1ch6.pdf
https://plus.maths.org/content/even-perfect-numbers
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