从“无穷”到“极限”，那是人类文明在严格规则下的自由之舞|微积分|数学|无穷小|柯西|牛顿

人类自从诞生于这个蔚蓝色的星球，从遥远的原始大森林的夜空走来，当他们仰望那浩瀚的星空，遥想那无穷的星辰大海时，不停地叩问苍穹，宇宙到底有多大？宇宙的边沿到底是什么？虽然，人类在无穷的宇宙面前是渺小的，但是，人类拥有强大的“抽象思维工具”——数学。人们正是利用这一有力的武器，不断地突破思想的牢笼，一边思考宇宙的“无穷”，一边思考着与之完全相反的“极限”。当“无穷”与“极限”完美地统一在一起的时候，真正的答案也就更近了一步。那么，“无穷”与“极限”到底是如何完美地统一起来的呢？还得从遥远的古代说起。

在我国三国时期，数学家刘徽发明了著名的“割圆术”，以今天的眼光来看，这就是建立在“直观图形”上的“极限思想”的应用。除此之外，类似的“极限思想”的萌芽，还有古希腊人所发明的“穷竭法”。

“极限”的思想虽然产生的很早，但是由于时代的局限性，“极限”思想的发展非常地缓慢。古代的人类对大自然无比强大的神秘力量充满敬畏，同样对“无穷”的概念也充满了恐惧。当我们要面对“无穷”的问题时，不敢取“极限”，而是使用“归谬法”来完成相关的证明。

历史的车轮滚滚向前，人类文明的进程来到了16世纪，随着科学的不断进步，对大自然有了越来越明确的认识，渐渐地摆脱了一切“神秘思想”的束缚。荷兰数学家斯泰文在论证角形重心的过程中，彻底放弃了“归缪法”，改进了“穷竭法”，首次在“几何法”的基础上大胆地运用“极限”的思想解决问题，为人们处理“无穷”与“极限”的问题指明了方向，也为伟大的“微积分”思想的诞生铺平了道路。

16世纪的欧洲处于“资本主义萌芽时期”，随着生产力的快速发展，生产和生活中所遇到的关于“运动”和“变化率”的复杂问题，单纯凭借“初等数学”的“常量”已经无法解决，各种各样的难题越积越多，在这种大背景下，新的数学工具“微积分”应运而生。

不过在“微积分”诞生之初，牛顿和莱布尼茨并没有把“微积分”建立在严格的“极限”基础上，“微积分”的基本概念“无穷小量”的定义非常混乱。

正因为“微积分”在建立之初缺乏“极限”的定义，“无穷小量”就如一匹不羁的野马，力量强大而不知如何约束它。人们对“无穷小量”最大的争议便是“无穷小量”到底是不是“0”。然而无论答案为“是”还是“否”，都将导致矛盾：如果是“0”，那么为什么能用它去作除数呢？如果它不是“0”，在很多的计算中又为什么将含有“无穷小量”的项去掉呢？

这些“微积分”底层混乱的“逻辑矛盾”，最终导致了“第二次数学危机”爆发。

面对这些头疼的问题，就连“微积分”的两个创始人牛顿和莱布尼茨都感到束手无策，大部分数学家都意识到必须引入新的数学概念“极限”，才有可能解决目前所面临的问题。牛顿在晚年的时候也意识到了“极限”概念的重要性，也试图以“极限”作为“微积分”的基础，但是牛顿的“极限”观念向来是建立在“几何直观”上的，“几何”的缺点是无法得出严格的“极限”表述。因而，进一步将“极限”和“无穷小量”进行严格化，成了迫切需要解决的问题。

微积分夯基十讲虹野看教育购买专栏很多数学家都尝试着给“极限”做出一个“严格的”定义，但都不是很成功。直到19世纪，法国数学家柯西总结前人的学术成果，第一次给出了完整的“极限”概念及其理论，柯西把“无穷小”视为“以0为极限的变量”，这也是人类第一次将“无穷”和“极限”两个完全相反的概念完美地统一了起来，被人们称为“极限与无穷小关系定理”，从此以后，“微积分”的基础得到了前所未有的巩固。