一个深刻问题：何为相等？|代数|定理|数学|等价性

在我们真正接触数学之前，父母的教育和生活经验已经让我们了解相等的概念，并且这种理解将伴随我们的一生。然而，数学上的相等有更深刻的内涵，特别是在一些特定的问题上，数学家不再只关注数是否相等，而是考虑数学结构是否等价，甚至还有更高阶相等。为了能更方便地讨论高阶范畴的等价性，数学家还提出了新的数学。

撰文 | 叶凌远

什么时候两个数学对象是相等的？这个问题并没有看起来那么平凡。事实上，数学上几乎所有的问题都是在询问两个数学对象是否相等。这篇文章显然并不是来解决某个实际的数学问题的，而是想跟大家探讨现代数学中“相等”这一概念的发展。

时间回溯到19世纪末，哲学家弗雷格（Gottlob Frege，1848-1925）认为，当我们写下一个等式A=B，A和B都是我们所想要表示的真实数学对象的记号，而相等指的是这两个名字所指代的真实数学对象之间是一致的。换句话说，相等关系是我们所使用的数学符号之间的一种关系，两个符号存在相等关系当且仅当它们指代的真实数学对象是一样的。按照这样的方式，我们很容易理解2+3=5这样的数学陈述。

然而，随着现代数学的发展，以这种方式理解的相等并不总是真实地反映数学家所关心的问题。最近十多年来，在一部分数学家和逻辑学家的引领下，我们有了对相等这一最基础概念的一次观念革新。就像牛顿和爱因斯坦对于物理学中最基础的引力以及时空概念的革新带来了全新的物理学一样，这篇文章想要谈谈对数学中相等这一概念的革新，如何能带来一种全新的数学。

范畴数

或许与哲学上的探讨不同，要想得到一个对现代数学有用的相等概念，我们始终应从所关心的数学问题出发，而不是预先确定一个相等的观念，然后期待所有的数学家在我们规定的这一套概念语言下来表述TA们的思想。而这一小节想要说明的是，针对不同的数学对象，我们所关心的相等问题可能是不同的。

一种对数学对象分类方式是所谓的范畴数。范畴数可以是从零到无穷的任意一个数字。范畴数的大小并不一定代表其内数学对象结构的复杂或丰富程度，而是代表我们对不同范畴数的数学对象所关心的相等问题是不太一样的。在下述叙述中，我们将称范畴数为n的对象为一个n-结构。

范畴数0

0-结构，即范畴数为0的数学对象，最为典型的例子是数，例如自然数、有理数、实数等等。对于两个数，或者说0-结构，它们之间的相等关系是我们熟悉的，即两个数是否一样。许多非常深刻的数学定理都关心的是两个数是否相等，而这也是我们接触到的数学中最为常见的相等概念。

范畴数1

随着现代数学的发展，我们不仅关心数，更关心更一般的数学结构，例如代数对象群、环、域；或是几何对象，如流形，等等。对于这类对象，数学家并不真的关心两个写下的群具体是否相等（一般意义上），而是它们之间是否存在同构。

某种意义上来说，最简单1-结构就是一个集合，它们可以看作是具有平凡结构的数学结构。对于集合而言，通常意义上人们关心的是两个集合是否同构，而并非关系两个集合是否具有完全相同的元素。例如，当我们说集合之间的笛卡尔积是交换且结合的，并不是说A×B真的和B×A相等，因为根据集合论的构造，这是两个不同的集合。然而，它们之间是同构的。

范畴数 2

或许令人惊讶的是，数学的世界并不是只有范畴数为0或1的数学对象。对于长期接受经典数学训练的人，或许不太容易想象什么数学对象会比数学结构的范畴数还要高一阶。但我们可以通过递归的方式进行猜测。

最简单的1-结构就是集合，而一个集合是由一些0-结构，即元素构成的数学对象。那么可以推理，最简单的一类2-结构可被理解为某些1-结构构成的类，例如所有集合构成的类，所有群构成的类，所有流形构成的类，等等。这些对象通常被称作一个范畴。

更严格地说，一个范畴是由一类数学对象以及它们之间的映射构成的。集合的范畴中对象为集合，集合之间的映射为函数；群范畴中对象为群，群之间的映射则是群同态。那么什么是2-结构，即范畴之间的等价呢？为了表明回答这样的问题是有意义的，这里举一个学习线性代数的例子。

通常在大学学习线性代数时，我们首先学习的是有关矩阵的运算。矩阵是一些具体数字构成的方阵，而矩阵的运算（加法、乘法等）有非常具体的运算规则。而当我们更深入地学习线性代数时，我们会发现线性代数可以完全由一种抽象的数学语言表示：线性空间可以定义为其上具有某种运算的代数结构，而线性空间之间的线性映射可以定义为满足某些代数条件的函数。

初看起来，矩阵和线性空间之间并没有特别直接的关系。然而，任何学过线性代数的同学或多或少都会知道，对（有限维）线性空间而言，研究矩阵和研究抽象的线性空间是等价的。但通常这一陈述并不是以严格数学定理的方式出现在课堂上。一般而言，这只是在学习这两种表示之后得到的一种印象，即任何一个有关矩阵的问题都可以转化为一个有关线性空间的问题，而任何一个有关线性空间的问题也都可以转化为一个矩阵的问题，且在这些相互转化之中，得到的答案应该是一致的。

但是，这只是一种非严格的表述。有没有办法用严格的数学语言来说明这两种数学表述在某个严格意义上是等价的呢？注意，这种等价性直观上是某两个2-结构之间的等价性：我们在断言研究矩阵这类对象和研究有限维线性空间这类对象是等价的。因此，在接下来的一节我们将介绍范畴数为2，甚至更高维范畴数对象之间的等价性。

高阶范畴数对象之间的等价

由前所述，为了严格地叙述矩阵和线性空间的等价性，我们必须把它们实现为某两个范畴，这样它们之间的等价性也会被理解为两个范畴之间的等价。

新数学中的等价性

现代数学的发展已经使得数学家们越来越意识到高阶数学对象以及它们之间的等价性是非常重要的数学概念，且对于理解复杂的低阶结构而言，有时研究高阶结构是必不可少的。碍于篇幅，这篇文章并不能对高阶结构在数学中的应用做很全面的介绍。但经过之前的阐述，我们至少能够理解对于不同的数学对象，数学家关心的等价形式是不同的。

某种意义上，这对于所谓的“数学基础”提出了新的挑战。毕竟，相等是一个如此基础的数学概念，但现有基于集合论的数学基础在处理高阶对象之间的相等上是非常繁琐的。如果想非常方便地使用高阶数学对象应用于之后的数学研究，显然我们需要有一种更直接地处理任意数学对象之间相等的方式。最近十年，一种由同伦论启发的数学基础发展的非常迅速，被称为Univalent Foundation[1]。这一新的数学基础有许多不同的特征，在这里简单介绍一下它如何处理数学对象之间的等价。

结语

当然，本文是介绍性质的，一部分细节要真的形式化为严格的数学内容需要更精准地表述。但是，希望这篇文章能让大家对数学中相等这一看起来非常平凡的概念有更多地思考，毕竟笔者相信，理论科学中真正的巨大的进步都是来自于观念的革新。这些工作或许不是技术上最令人叹服的工作，但必定是影响人类思想最深远的工作。

参考文献

[1] The Univalent Foundations Program. Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. http://homotopytypetheory.org/book, Institute for Advanced Study, 2013

[2] 参考数学家 Vladimir Voevodsky 于2011年在普林斯顿高等研究院上做的报告：
https://www.math.ias.edu/~vladimir/Site3/Univalent_Foundations_files/2011_UPenn.pdf