笔者是个数学迷,随着渐渐的深入微积分,越来越觉得微积分不可思议。

何以见得?且听俺数其一二。

早在两千多年前,古希腊的毕达哥拉斯就提出“万物皆数”之观点,认为“数是万物的本质”,事物的性质是由数的关系决定的,且都“存在由之构成的原则”,所以数是构成实物世界的基础。

无独有偶,一千多年后的17世纪,巨人牛顿似乎秉持与毕达哥拉斯相同或相似的观点,因为他在《自然哲学的数学原理》中认为自然哲学里存在着数学原理,并且可以用数学原理来解释自然哲学。由于哲学从属于自然,自然有自然的规律,都有迹可循,所以从泛义来说,牛顿的观点是可以用数学的方法来解释一切自然之现象,而具体用的数学方法就是他创建的微积分。

但世间万物的变化方式(法则)又各不相同,牛顿说“我把时间看作是连续的流动和增长,而其它量则随着时间而连续增长。”换句话说,世间万物都是随着时间的变化而变化的,这样就将所有事物的变化“统一”地联系了起来。

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说到这里,让我想起一段故事。有一次,陈省身教授在北大一个讲座中说:“人们常说,三角形内角和等于180度。但是,这是不对的。”话音未落,众人一片愕然。随后,老教授又解释说:“说三角形内角和为180度不对,不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对,应当说三角形外角和是360度。”

你看,科学家就是科学家,看问题的角度总是跟常人不太一样。因为三角形内角和是180度,引申下去则有四边形内角和是360度,五边形内角和是540度......n边形内角和是(n-2)×180度;但如果看外角,则任意n边形外角和都是360度,这就把各种多边形用一个十分简单的结论概括了起来,找到了它们的一般性规律。

所以,两相比较之下,你会发现陈省身教授看问题的方法与牛顿简直如出一辙,他们喜欢找出那些放之四海而皆准的一般性规律;无论是陈省身教授看任意多边形的外角和都是360度,还是牛顿用时间将万事万物的变化“统一”联系起来,都具有这样的明显特征。

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紧接上文。因为牛顿用微积分来解释一切现象,明显地,牛顿是将时间t作为自变量的,那么万事万物不同的变化方式就是不同的变化法则f,那么万事万物的变化就都是时间的函数f(t)了。

并且,不但万事事物会以不同的变化法则随着时间的变化而变化,而且变化的程度(变化率)也各有不同,不同的物种如此,即使是同一物种间也是如此,所以这个世界才会如此多姿多彩,各有各样貌。

由于时间总是向前的,所以万事万物都是运动变化的。站在物体运动的立场,可以用一条曲线来反映位移距离与时间的变化关系。推之,万事万物的变化都可以用一条曲线来反映事物变化与时间的变化关系。

但我们无法对事物进行无限时长的研究。而莱布尼茨则是立足于几何学的角度来阐述他创建的微积分,可以从任何一条曲线上截取一段弧段来加以研究,并称下图一段弧段对应的三角形QAC这样的三角形为“特征三角形”。

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那么,牛顿思想里的事物变化率,在莱布尼茨的几何上反映的就是某个点上的切线斜率,而这个点上的切线斜率在微积分里既是导数也是微分。微分相积的结果就是积分,因而微积分可以用来解释一切自然现象;又因为数学具有“诚实”的本质,且具有具体的描述能力,所以微积分就成为了科学解释一切现象的最佳语言。

又由于导数在几何上反映的是一个点上的变化率,那么对于任何事物的变化,就可以理解成是由这样的点构成的一条变化轨迹曲线。那么按照泰勒定理导之又导、导到不能再导之原则,就可以完美的描述任意一条曲线,其误差可以达到忽略不计的程度,甚至连有没有误差、误差是多少都能算得清清楚楚。

如果说毕达哥拉斯的“万物皆数”是个哲学观点,那么牛顿的《自然哲学的数学原理》就是站在运动力学的立场阐述他创建的微积分,而莱布尼茨则主要立足于几何学的角度来阐述他创建的微积分,所以微积分是个横跨哲学、运动力学和几何学等诸多学科的一门科学。

而微积分是基于极限思想建立起来的,导数函数是一个极限值,在几何上反映的是某个点上的切线斜率,可以通过计算找出这个极限值,在可导的前提下求解任意函数式,因而具有精确描述具体事物连续变化的能力。

换句话说,微分是无限细分到可以忽略误差的无穷小,而所有这些微分到可以忽略不计误差的无穷小累加起来又能得到最终的精确值结果(积分)。这简直太神奇了。

如果说积分反映的是事物的真实样貌,那么微分反映的就是在无限细分之下由微小量变到整体质变的过程,微分与积分反映的就是在不同的变化法则下因应不同变量之间的对应关系。简而言之,是将复杂的函数关系利用极限法则简单化,或者说是将复杂的问题分成微小的局部简单来看待,就像在显微镜下看一件事物一样一目了然,就像电影胶片一样一帧帧连续播放又能逼真地还原真实场景,太不可思议了。

怎么个不可思议法?《老子》有云“常无欲以观其妙;常有欲以观其徼。此两者,同出而异名,同谓之玄。玄之又玄,众妙之门。”也许宇宙天地万物之奥妙都可以用微积分来解释。

作者:然好

END