看点数学是个老大难的问题，对此，知名数学教育工作者应俊耀表示，很多人都忽略了数学学习的整体性，以及学习和生活的关系。数学是个系统工程，改变数学学习的问题需要多方面的改变，尤其要把握住初中这个重要阶段。从学习方面来说，孩子要做到知其然，并且知其所以然；从生活方面讲，养成独立自主的生活习惯，也能促进养成良好的学习习惯。
文丨周岁 编丨Luna
如何学好数学，是一个经常被提起的问题。对于孩子数学学不好的情况，不同的家长也有不同的分析：
有的认为，学数学需要天赋，父母数学没学好，所以孩子学起来也费劲；
有的认为，孩子就是不认真，上课不好好听，所以学不会；
有的认为，孩子是题做少了，导致考试不会……
其中一些理由听起来，颇有点“书读百遍，其义自见”的意味，觉得学数学可以通过听课、刷题的量变实现质变。
但是，这些都没有触及数学学不好这个难题的根本原因。
前段时间，知名数学教育工作者应俊耀老师做客外滩教育直播间时，就对“双减”后的数学学习新要求做了详细的分析：要求孩子从“背诵”数学转为“理解”数学，从“机械式”的刷题转向“质”与“量”的平衡，从对解题技巧的推崇转向以数学思维为重。
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在一线耕耘多年，应俊耀也是一位非常跨界的老师，他不仅是一位数学老师和数学竞赛教练，也是经济学著作的译者，曾在高校兼职讲授生活中的经济学和新制度经济学导论等课程，他还是自由撰稿人和国际注册会计师。
在学生时代，他就拿过奥数全国三等奖，也曾在四十分钟就完成了高考数学试卷。工作多年后，看到同龄人多为孩子学习数学而苦恼，他深感很多人在数学学习上走入了误区。因而投身于数学教育中。因此，他称自己是一位游走在经济学和数学之间的教书匠。
应俊耀
对于很多孩子总是学不好数学这个问题，外滩君再次请教了应俊耀。在他看来，很多老师和家长都忽略了数学学习的整体性。
从小学到高中，数学的难度是不断提升的。
一方面是同一个主题下的内容，不断深入，比如小学时，孩子们学加减乘除，到中学则深入到幂运算；
另一方面，代数和几何之间还有着各种联系，越学到后面，就越需要灵活转换的能力，比如二次函数问题就既可以通过纯代数的方法解，也可以通过数形结合的方式得到答案。
而初中是一个重要节点，因为这个时期开始，不仅开始引入代数思维，也就是用字母代替具体数字，数学知识从特殊推广到一般，还开始重视演绎逻辑能力。
而这两者都是训练数学思维，搭好数学框架的基础。因此，如果在初中这个“分水岭”没有掌握好正确的学习方法，数学可能会越学越累。
应俊耀指出，要把握住这个机会，并不能只靠孩子自己闷头努力，而是要从根源上改变过往对待数学的态度。
一是孩子要改变小学阶段的学习方法，注重解题过程。
二是老师不能停留在记住结论，而要深入数学原理。
三是家长对待数学不能头痛医头，脚痛医脚，而要从生活点滴培养孩子解决问题的能力。
“唯答案论”可以应付小学
但初中更要求对问题本质的理解
从小学到高中，数学的内容越学越多，也越来越有深度，很多孩子小学时数学还不错，但是到了初中，就开始显露出疲态，学不得法。
在应俊耀看来，初中数学越不过这道坎，根本原因在于孩子没有掌握正确的学习方法。很多孩子没有意识到，自己还在用小学的方法学数学，也就是“唯答案论”。
最典型的就出现在选择题上，只要答案对了，不管是蒙的，还是巧合，就当作大功告成，全然不在乎自己有没有真的明白如何解题，以及怎么推理。
他还遇到过一些数学学得非常超前的孩子，才小学六年级，就已经学到了高二、高三的内容，还会运用这些高级的数学知识来解题，乍一看甩了同龄人好几条街。但是他们真的理解自己所学的内容了吗？
应俊耀让他们试着证明一些高中教科书上的定理，这非常考验孩子们对定理背后原理的理解。可是，孩子们却都摇头说不会。可见，那些高级的知识在他们脑中，仍然只是一个个零散的知识点，不成体系，遑论理解。
说初中是数学学习的分水岭，是因为从初中开始，数学就不再像小学那样，通过简单的运算得出答案就行了，而是更加重视数学思维。
这一点，从2022年版新课标对于小学和初中数学核心素养的描述也能看出来。
小学阶段，数学还停留在具有各种数学意识上；而到了初中，更重视从意识深入到能力层面。
义务教育数学课程标准（2022年版）
在应俊耀看来，进入初中以后，学习数学就要从以前的只要“知其然”，升级到不仅要知其然，还要知其所以然。
这个问题在小学时候还不明显，因为具体数字的运算靠死算也能得出答案，孩子们往往也就忽略了自己对原理的理解。
德国著名数学家希尔伯特曾说：“数学是一个不可分割的整体，它的生命力正是各个部分之间的内在联系。”只有脑中有一套数学知识的框架，那么每次学到的知识才不会零散。
而支撑这套数学知识框架的，则是扎实又灵活的数学思维。
比如在学习乘法分配律c×（a＋b）＝c×a＋c×b的时候，美国四年级有道竞赛题是这样：64＋64＋64＝8×□。
很多孩子的解法是把3个64相加得到192，然后再用192除以8得到24。
这个答案当然正确，但是这样就足够了吗？其实这道题完全可以用乘法分配律来解决：
64＋64＋64＝8×8＋8×8＋8×8＝8×（8＋8＋8）＝8×24＝8×□，因此得到□＝24。
可以看到运用了乘法分配律这种更进一步的运算法则之后，题目本身的运算也变得更加简单明了。
那么为什么很多孩子没能做到“知其所以然”？恐怕还是日常学习中，没能养成数形结合的深入思考的习惯。
数学越学越抽象，但是如果在最初能够搞清楚每个定理、公式的证明和推导，再通过数形结合的思考方式来学习，那么数学学习就不是问题了。
还是说回那道题，在小学阶段，乘法可以看作图形的面积，所以乘法分配律除了写成算式，还可以理解为矩形的拼接和分割，这就把代数和图形结合到了一起。
这样一来，64＋64＋64＝8×8＋8×8＋8×8就可以看成三个边长为8的正方形相加，最后可以拼成一个8×24的长方形。
如果愿意深入琢磨，这道题还可以变形：
1x1x1+2x2x2+3x3x3……nxnxn=？
三个数相乘的代表什么？可以是立方体的体积，也可以是正方形的拼接，还可以代表三角形的个数……
所以，要“知其所以然”，眼里就不能看代数只是代数，看几何只是几何。应俊耀也常鼓励和训练孩子们，看到数学表达式要学会通过几何图形去进行联想和构思，看到几何图形可以再转回数学表达式。
说到这里，他还提到了一个常见现象，那就是有些家长喜欢让还在小学的孩子用方程解“一切”。
比如鸡兔同笼问题，除了常见的算术解法外，也可以用数形结合的“面积法”来解题，这能让孩子对算术解法有更加深入的理解，用方程来解题自然很快捷。
但是应俊耀说：“方程属于大杀器，好用有效，但属于直线思维，过早接触方程会让孩子放弃思维训练。”
所以，他常和学生说：“我在讲平面几何的时候，你们一定要老老实实跟着我的思路。不是说一定要模仿我，而是你们要知道自己学到了哪个阶段、只能用哪些学过的知识来证明。不是不让你们用其他的知识，是为了让你们知道什么叫做演绎逻辑和欧氏几何的知识体系。”
学习数学不能止步于动手试验
更要的是知道为什么做
当然，学习数学不仅是孩子的事，老师的教学也是其中一个重要因素。而且，应俊耀多次提到，学好数学一定要吃透教科书。
对于现在使用的教科书，家长也有不同的看法。有的认为，现在的课本和以前相比删掉了很多内容，教的内容太简单；有的说“教科书把孩子们想得太厉害了，做做试验，观察观察就能掌握知识。”
在应俊耀看来，这是因为现在的教科书采用了“螺旋式上升”的编排模式，不再像以前那样分为代数、平面几何、解析几何、立体几何等专题。
上世纪的数学课本，图片来自网络
“孩子们的教科书远不如老师使用的教师用书的内容详细。如果老师在孩子试验完以后，不进行归纳，不进行引导，不进行总结，那么对大部分孩子来说，这堂课就是一个看热闹的过程。”
应俊耀说，这意味着对老师有更高的要求，“老师需要最后来告诉孩子，为什么要去做这个尝试，为什么是这么做的，从这个过程中可以学到什么。”
所以，在上课的过程中，老师要给孩子讲透知识，最好还要有总揽全局的视野，能够用数学思想联系不同模块的内容。
应俊耀就遇到过一次让他哭笑不得的情况。
一次，在讲解奇数偶数运算法则时（比如说：奇数＋偶数＝奇数），有个孩子说：“我们可以把奇数看成是‘坏孩子’，偶数看成是‘好孩子’，‘奇数加偶数等于奇数’就是坏孩子和好孩子在一起，好孩子被坏孩子带坏了，都变成了坏孩子。”
虽然顺口溜有时可以帮助记忆，但是这样一条“口诀”他却觉得毫无意义，因为它除了让孩子记住了“奇数＋偶数＝奇数”这个结论，毫无其他益处，更不用说这个奇数、偶数和坏孩子、好孩子之间毫无对应与联系，可以说硬扯上关系。
这样的情况在教学中并不鲜见。比如小学六年级的“圆锥的体积”这个知识点，应俊耀认为也有同样的问题。
在学习圆锥的体积时，主流的做法是让孩子们给圆锥倒满水或者沙子，再倒进等底等高的圆柱体里，操作3次，就会发现圆柱体也被倒满了。然后就得出了结论“圆锥的体积是等底等高圆柱体体积的1/3”。
试验也做了，结论也有了，教学好像也就可以了。真的是这样吗？
“学习的角度来说，其实我个人认为这样学不到任何东西，只是告诉孩子这么个事实。这对大部分学生来说，他们只是记住了这个结论。”应俊耀说。
这样的学习，看起来热闹，但是除了验证了一下书上的结论，没法教给孩子任何其他有用的数学知识和思维方式。
“如何想办法去发现这样的规律”才真正触及到了数学的思维方式。就算是圆锥体体积这样很简单的知识点，背后也大有可挖掘的原理。尤其需要老师引导孩子们来做探究，真正在探究的过程中锻炼数学的思维。
圆锥体体积这个公式虽然简单，但是其实可以涉及到“卡瓦列里原理（Cavalieri principle）”。这个原理的精妙之处就在于无需计算出体积，而是通过选取合适的对象进行比较，就可以推导出体积。
图片来自可汗学院
当然，上课的目的也不是为了给孩子们讲解这么高深的原理，重点在于让孩子们体会这种推理方法背后的数学思想，体会到数学的美妙。
这一整套推理中，就不难发现好几种数学思维：
比如找类比。直接探究圆锥体的体积可能很难，但是从五年级刚学过长方体和角锥入手，可能就会有点头绪。
还有从特殊情况中找一般规律和“极限法”的思考方式。通过找角锥和长方体的体积关系，再到给圆锥体和角锥切片比较，最终可以得到“圆锥的体积是等底等高圆柱体体积的1/3”这个结论。
而比了解这个原理更珍贵的是，这背后的思考方法是可以被迁移到其他数学知识上的。
所以，应俊耀才强调：“通常学数学去寻找规律，首先是观察，尝试总结，总结以后，发现书上的公式是成立的。但是这个还不够，最重要的是，得到公式以后，我们还要去证明为什么一定是这样的。”
还有前面说的数形结合来加深理解的数学思想，老师自然也可以做引导和示范。
“其实欧美很多数学家和数学教育工作者，在科普或者使用教材的时候，很喜欢用图形来讲数学。我也一直很主张很多代数公式可以转换成图形来讲解，像已经被引进出版的《无字证明》（Proof Without Words）里就有很多中学数学的内容，很适合作为老师的参考。”
数学是个系统工程
改变生活习惯比补习数学更有用
对于家长来说，辅导孩子数学不是每个人都能行的，但是担心孩子数学学习情况的心也是真的。有很多家长慕名询问过应俊耀，“孩子数学学不好，该怎么办？”这个问题。
每个孩子的情况各不相同，很难说数学上该补哪一块，更何况家长自己可能也辅导不了。越是在这种时候，家长就越要跳出数学这一门科目的问题，用更全面的眼光来看孩子整个的学习情况。
他特别强调：“数学是一个系统工程，学习也是一个系统工程。不是说孩子数学上出问题，就只补数学就好了。这其实和其他学科的学习，甚至生活中的各种习惯都有关系。”
首先，孩子生活上的独立和学习上的习惯就有着很深的联系。一个衣来伸手、饭来张口的孩子，在学习上也会缺少独立解决问题习惯。
在女儿还小的时候，应俊耀就多次看到幼儿园门口有很多家长，甚至爷爷奶奶，还在给孩子喂饭。一问原因，很多家长说，孩子自己吃饭太慢了，喂饭能让他们吃得快一点。
父母包办了吃饭，孩子在这个阶段确实快了，但也缺少了锻炼的机会。长此以往，孩子就会变得非常依赖父母，在学习上也很难养成遇到问题尝试思考和解决的习惯。一道题做不出了，就会问“爸爸，这个题怎么做？”“妈妈，这个题怎么做？”
生活上的习惯问题，这就变成了学习上的问题。所以，从这个角度来说，要培养孩子独立解决问题的习惯和能力，就要先从生活上懂得放手开始。
不要包办孩子的生活，鼓励他们做力所能及的事和家务，相信孩子们通过努力，可以慢慢进步。
还是说吃饭这件事，应俊耀就很鼓励女儿从小自己吃饭，虽然一开始她也很慢，有时候还吃得一塌糊涂，但是这个痛苦的过程很快就过去了。21个月大时，她已经可以用筷子夹起米粒了，使用筷子的熟练度不输成人。
然后，是改变固有印象，不要给孩子贴“数学不好”的标签。
数学这个老大难的问题，可能家长自己在学生时代就深有体会，轮到孩子上学，数学成绩久久不见起色，很容易就把问题归结为“孩子没那个天赋”“孩子就是随我”“孩子天生注定了学不好数学”。
但是，孩子们在数学上的止步不前很可能只是正常现象。
在小学阶段，读写和背诵的内容比较多，加上有研究表明，这时候女孩的大脑发育水平普遍高于男孩，所以女孩往往在语文方面学得比男孩好。这个现象确实存在，但问题在于有家长会据此觉得，我家女儿适合学文，不适合学理。
“小孩子那么小的时候，根本没有文理之分。过早给他们贴标签，只会让他们在（学不好数学）这条路上越走越远。”
应俊耀觉得，很多家长把下结论太早，太草率，反而限制了孩子在数学方面的潜力。
“本来可能过一段时间，孩子心智更成熟了，或者说理解力强了，数学也就上去了。但是被贴了这个标签以后，心理暗示作用是很强的，给学习数学带来很大的问题。”
所以，面对孩子数学学得不好的情况，家长还是要耐得住性子，不要一边着急数学成绩，一边又打击孩子，给他贴标签。
还有，就是要让孩子养成时间观念，做事切忌拖拉。
数学是需要钻研的学科，要想把数学学好，更少不了持续投入时间。但孩子如果没有养成时间观念，在桌子前坐一个小时，才写几个字，就很难保证学习的效率。
不过，不同孩子出现拖拉的原因都不同，可能是心理原因，也可能是家庭因素，还有可能和孩子的心智发展水平有关，很难给出一个放之四海而皆准的行动指南。
作为家长，能做的还是放下焦虑，适当督促，多和孩子沟通，多给孩子做示范。“适当的督促是要的，可能过了某个阶段，孩子就慢慢就好了。”
关于数学怎么学这个话题，能谈的实在很多，家长们的焦虑也是肉眼可见。在外滩直播间，评论区的问题和感叹就一直没断过。
但是，正像应俊耀说的，对待数学，不能头痛医头，脚痛医脚，要把它当作孩子学习的一环，甚至是生活的一环。
对于孩子和老师来说，都不能仅仅止步于知道答案，锻炼数学思维，搞明白知识背后的原理，日积月累，才能达到融会贯通的地步，也就是建立了数学知识的框架。
考试确实看分数，但是学习的过程不能这样，答案、分数都是次要的，思维、方法才是重点。只有这样，数学学习才会“柳暗花明又一村”。
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