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分形 几何不仅仅是 数学 的一个章节,它还帮助普通人以不同的方式看待同一个世界。——伯努瓦·曼德勃罗

什么是分形?

分形是一种“无限循环”的模式,在不同的尺度上不断重复自己。这种不断重复的性质叫作 自 相似。分形被认为是无限复杂的,也就是说如果你可以不断放大一张分形图片(下图),你总是可以看到相同的结构。

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分形这个术语是由曼德勃罗在1975年创造的,它源于拉丁语“fractus”,意思是“破碎的”或“断裂的”。

由于分形具有“无限复杂性”,你可能认为分形很难制作,但这是一个非常简单的过程。要做一个分形,只需要一遍又一遍地重复同样的过程。用数学术语来说,数学分形是一个迭代(递归的一种形式)的方程。

数学中的分形

最著名的分形是曼德勃罗集合,它来自于复数集合c。数学家Adrien Douady定义了下面的函数

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以致敬曼德勃罗,并将其命名为曼德勃罗集合。当从z=0迭代时,不会向 无穷大 发散。

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另一个著名的分形的例子是谢尔宾斯基三角形,以波兰数学家谢尔宾斯基的名字命名由三个步骤组成:

  1. 从等边三角形开始,

  2. 将三角形分成四个等边小三角形,去掉中间的三角形,

  3. 对剩下的每个小三角形无限重复步骤2。

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这种分形是用牛顿法求解 多项式 方程的结果。上图是用牛顿法求出多项式z^3-1=0的三个根的结果,

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自然中的分形

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  • 肺的计算机模型

人类的肺和皮层神经元是分形器官的完美例子。

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  • 女性大脑中发送信息的神经元——被称为轴突,哈佛大学李奇曼实验室

分形的应用

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  • 分形流体分布

分形流体分布技术的应用包括色谱、离子交换、蒸馏和其他需要塞流特性以最大化性能的应用。

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  • 分形天线内部视图

分形天线系统公司(FAS)创造了分形天线,分形超材料,分形电池,以分形电路设计,他们的分形技术创新是无止境的。FAS制造的分形天线正在进入手机和其他设备。他们的分形天线在4个关键方面比竞争对手具有明显的技术优势:

  1. 固有的宽带/多波段意味着只需要一个天线,减少了整体天线的数量,因此降低了成本。

  2. 更小,更轻,需要较少的设备支持。

  3. 与传统天线相比, 需要 更少的组件就能达到相同的性能,

  4. 与非分形天线相比,增益更高。

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分形几何已经应用于许多换热设备,包括散热器、燃料电池、微反应器、分配器、集热器、管壳式换热器、纺锤体和硅/锗纳米复合材料。由于分形结构具有温度均匀性的优势,基于此,工程师们对芯片散热片进行了大量的优化研究。

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CT图像的分形分析正被用于理解和解决各种肺部疾病。检测肺部异常的方法遵循基于二维和三维分形维数的简单 算法 。利用该算法对高分辨率CT图像进行扫描,并根据其整体分形维数对正常和异常肺进行分类。

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  • 自相似结构和自相似波动的示意图表示

基于分形模式的心率调节研究正在进行中。上图描述了类似于分形时间过程的心率调节,是如何在统计上自相似的不同时间尺度上产生波动的。

分形不仅具有艺术和数学价值,它们在计算机图形学、计算机文件压缩系统、互联网架构和医学方面也有巨大的应用。由于分形在数学中仍是一个相对较新的领域,仍有更多的应用未被发现。