数学不好，真的不能成为数学家吗？|博弈论|定理|微积分|数学家|物理学

数学不好，真的不能成为数学家吗？数学思维到底是什么？数学要如何应用到我们的生活中呢？等等诸如此类的问题，一直困扰着我们，也同样曾经困扰着苏珊·达戈斯蒂诺（Susan D’Agostino）。

她曾经在读高中时在一次微积分考试不及格之后就放弃了数学。当时，她以为我最好的数学时代已经过去了。但是十年后，她却取得了达特茅斯学院数学的博士学位，甚至曾担任新罕布什尔州州长数学顾问。她曾在高中、大学教授数学，带出了无数的学生。

她对于数学思维的理解，被《欢乐数学》作者本·奥尔林、美国数学协会前主席珍妮弗·奎恩、欧洲科学院院士罗曼·穆拉夫斯基盛赞。

在《唤醒心中的数学家：帮你爱上数学的生活手账》这本书里，作者用300余幅手绘插图，46篇唤醒“数学力”的思考笔记，收获数学与生活的启示，带你爱上思考与学习。

一、为什么会有这本书？

我有件事要向你坦白：我读高中时在一次微积分考试不及格之后就放弃了数学。

当时，我以为我最好的数学时代已经过去了。在大学，我一边学习人类学和电影，一边在纽约哈得逊河谷的一家农场打工挤牛奶（我可没有机会在暑假做与数学相关的实习）。大学毕业后，我为了母校走遍了南、北美洲的学校，采访了很多学生。

毕业之后，我在另一家养了42000只鸡的农场上安了家，但我还花了很长时间在一家修行所学习了瑜伽的哲学和实践。在这段时间里，我内心始终保有一个秘密：我想学习更多的数学。

梅丽莎是我的好朋友，她从四岁开始就学习跳舞。在我没有外出旅行的时候，每周四都会和她一起做晚饭。在糙米、本地蔬菜以及柠檬芝麻酱上，我们绘制着未来的生活。梅丽莎十分了解创造性的追求和梦想，所以我告诉了她我的秘密。

“如果你能用从农民和瑜伽老师身上学到的勤奋和坚持来帮助自己学习数学，那该有多好啊！”梅丽莎把她心里想的说了出来。这是个挺有意思的想法。在农场上，我经历了干旱、害虫成灾、设备故障和农作物病害，但都坚持了下来，最后总能在令人惊叹的环境中收获甜美的草莓、浓烈的切达奶酪、鲜嫩的芦笋、新鲜的鸡蛋和脆甜的苹果。在瑜伽练习中，我可以为了了解平衡、力量和呼吸而将我的身体扭曲成站立半莲花式、犁式和鹰式姿势。

虽然离我上次打开一本数学书或是参加一堂数学课已经有近十年了，但我还是报名参加了一个微积分预备课程。在工作的同时把自己的能力提升到普通数学本科生的知识水平，我花了很多年，然后，我又在达特茅斯学院花了好几年拿到了数学博士学位。在我重新开始学习数学以及之后的那些年里，我恋爱、结婚、生了两个小孩，也送走了我的父亲和母亲。我在中学和大学都教过数学。

我也受聘为我所在州的州长数学教育顾问，这让我有很多机会与本州甚至州外的小、中、大学的学生、老师以及行政人员讨论数学这门学科。

在离开教职后，我成了一本数学研究论文集的主编，而且曾被邀请去往德国海德堡获奖者论坛，采访了菲尔兹奖——数学界的诺贝尔奖——的得主们。同时，在我家厨房的桌子旁，我辅导了我的孩子们的小学和中学的数学作业。

在如此繁忙的同时，我还患上了危及生命的疾病，并且忍受了很长一段时间无法行走，甚至不知道自己将来还能不能走路的痛苦（万幸的是，我现在可以自己走路了）。伯特兰·罗素曾经说过：“当这尘世不能让我舒适时，是数学和星星安慰了我。”他也许预示了我要走的路，人生或喜或悲、或高或低，但数学总在身边陪伴着我。

这些经历让我对于个体、家庭、地方、国家和国际上对数学的追求有了不同寻常的见解。

每一天，即使我的数学思维正陷于僵局，我的心里也充满了对数学给予我生命的意义的感恩。我在追求数学的道路上，尽管偶尔会受到他人的劝阻或干扰，但更多的时候，我得到的是数学界的鼓舞，这一群体超越了时间，崇尚抽象及批判性思维。即使我把数学神圣化了，我也不会对此表示歉意。

每个人都有数学思维能力。每个人都拥有还未被开发的巨大数学潜力。在我的经历中，不管是我的孩子、学生、我所在州和国家的居民，还是我造访过的世界各地的学校中的学生，还是我帮忙出版过论文的数学家们，还是我有幸交谈过的菲尔兹奖得主们，他们都有着共同的特征：好奇心、渴望和坚持——远比天赋重要得多。

在与不同背景的人们交谈后，我发现了另一个共同的主题。他们对这门学科有着强烈的感情——或爱或恨，即便是那些承认自己对数学充满恨意的人，也往往会在最后加上一句：“直到……我还是很爱数学的。”他们对数学由爱转恨的原因几乎从来都与数学本身无关。没有人会说“第四维这个概念冒犯到我了”或是“我从哲学上反对无穷还能分大小”。

事实上，那些不喜欢数学的人会很快开始讲述一个故事——细节多得仿佛一切就发生在昨天——那个关于他们决定“离开”数学的那一刻的故事。对其中一部分人来说，比如年轻时的我，那是某次考试没能及格。对其他人来说，也许是一个朋友、家长、导师或老师严厉地贬低了他们的数学潜力，这就如同接到了一张来自数学的薄薄的开除通知单。

还有更多人碰到了一个不愿意讲解数学概念的老师，而这就终止了他们继续学习数学的道路。但他们几乎最后都会说出这样一句话：“我一直很佩服数学学得好的人。我要是也能学得更好就好了。”

《唤醒心中的数学家》是我想写给年轻时的我的一本书，那个我曾因为一次考试失利就认为学不好数学。这也是写给曾说出“直到……我还是很爱数学的”的那些人的书。这本书同样写给数学爱好者们。

我从不相信有所谓的“数学人”和“非数学人”之分。不管你是谁，有怎样的背景，这本书想邀请你停住脚步，听一听你自己的数学思想。你会在这里思考各种形状、规律、数字和理念，你会发现超越数学并融入生活本身的课题。这本书会教你如何走出或是重返个人的数学之路。它会教你如何唤醒心中的数学家。

二、这本书适合你吗？

如果你对于你正在学的、曾经学过的或是没有学到的数学思想感到好奇的话，这本书很适合你。也许你是一位喜欢数学的高中生或大学生，也许你是一位已经很久没碰过数学、已经工作了的成年人，也许你是一位为了辅导孩子数学作业而想要先培养自己的“数学自信”的家长。

这本书不会提供也不会要求读者拥有代数、几何或微积分上的任何专业知识。在阅读这本书时，你不需要回忆任何公式，或者费力解读数学技术符号。你只需喜好阅读、学习和思考。

你或许还喜欢在纸上写写画画，来帮助理解数字、形状、图案以及抽象的数学概念。

你应该对周遭世界中的数学属性感兴趣，比如墙纸上的图案、堆橙子的最好方法、地球的形状、投票方法的公平性，以及检测有人篡改过的数据集的方法。你应该对超越生活的概念感兴趣，比如四维超立方体、混沌理论、微生物集群的几何属性。

你应该为能掌握博弈论、编码理论、微积分和拓扑学等数学分支的基础而感到兴奋。虽然你可能对本书中提到的数学在工程、生物学、化学、物理学、科技或经济学中的许多实际应用更感兴趣，但当碰到没有明显实际用途的理论数学概念时，你也不用太过担心。

数学家们追求数学，往往是为了增长他们自身的智慧，即使不是为了这个，那也可能纯粹是为了数学本身所带来的快乐。

三、你会看到什么？

你可以在海滩上阅读这本书，当然也可以端端正正地坐在书桌前。在哪里怎样看这本书并不重要，重要的是你阅读这本书时的思维框架。你应该把有时在思维上碰到的困难视为一种公平交易的筹码——通过它，你会得到虽然有时姗姗来迟，但往往令人喜悦的奇迹。因为任何一章内容都不以另一章为前提，所以你用什么顺序阅读本书都可以，当然，你也可以从第1章开始顺读到最后。花多少时间阅读本书也不重要，你可以花上一周乃至一年。

本书中涵盖的每个数学主题都可以独立出书，因此，你会看到本书对各种主题进行了基本介绍，而不是深入探讨某几个问题。书中每个短小的章节都会给你介绍一个不同的数学概念，以及坚持学习数学的一条建议。这些建议中很多不光与数学学习相关，对于日常生活也同样有效。

在每章的最后，你将有机会通过一道习题来检验自己的理解程度，并实践该章中所提出的建议。这些习题大多不需要计算，但几乎都需要你能创造性地思考。如果你在海滩上阅读这本书，闭上你的眼睛，听听海浪的声音，在脑子里思考一下习题的解决方法。

如果你在书桌前看这本书，拿出一支铅笔，开始写写画画你的答案。在本书的最后，你能找到这些问题的详细答案，而这些答案会延续对应章节中的讨论及例证。

这本书根据大致的难度分成了三个部分，但对难度的衡量往往非常主观。一个“很难”的数学讨论对于某些人来说也许“很简单”，反过来也是如此。这三个部分如下。

第一部分：身体的数学。这部分的每个主题都有一个大家熟悉的切入点，即使挑战会随着阅读进度越来越大，这个切入点也会帮助你初步理解问题。

比如，关于哥尼斯堡七桥问题的章节会让你想象在一座拥有以特定方式排列的七座桥的城市中漫步。关于纽结理论的章节会讨论用一根绳子打结的各种方法。关于计算员与数学家凯瑟琳·约翰逊的章节在开始时则会让你思考如何让一艘太空飞船重新进入大气层。即使你以前从来没有接触过与之相关的数学，我相信你也一定思考过或梦想过太空旅行。

第二部分：心灵的数学。这部分涵盖的每个主题都具有吸引力，但与第一部分相比难度有所增加。我可能选择在一些主题中加入比第一部分的章节更多的细节，或者，有些主题是从比较抽象或不熟悉的概念开始的。

例如，毛球定理（尽管名字有些好笑，但这是一个真正严肃的数学定理）非常有趣，但在理解这个定理之前，你必须懂得连续向量场的概念（别担心，我画了很多张图，以便让你快速入门）。关于孪生质数猜想的讨论会请你思考一下质数——那些只能被1和自身整除的自然数，但这些质数在数轴的极远端，如同在北极圈的小部落里群居的人们，部落之间也相隔很远。不是所有人都有把数拟人的经历，所以这个主题可能在刚开始时会让你感到陌生。

第三部分：精神的数学。这部分的主题十分抽象，但它们也是数学中最负盛名的问题。你会在四维的克莱因瓶上沿着一个方向散步，最后回到原地，却发现你整个人上下颠倒了过来。你会证明某些无穷比其他无穷还要大。你会只能用自己脑海中的眼睛“看到”分形维中的物体——因为在纸上画不出它们来。你会需要理解一条能充满空间的曲线。我尽可能地通过大量草图来阐明这些讨论。这些主题需要你集中全部注意力来对待，但它们也会在思维与精神上给予你巨大回报。

当你阅读本书时，请你摒弃数学只是套公式的想法。请你记住，读数学书并不像读小说或报纸。慢慢地读，停下来想一想，然后再继续。

当你阅读本书时，请问你自己一些问题：我明不明白这句话的意思？我能不能用自己的话把它说一遍？如果我把这句、这段或这页再读一遍，会不会对我有帮助？我能不能想出一个例子，或者两个甚至三个？插图和文字有什么样的关联？

在外人看来，你像是在读一点儿，停下想一想，也许又翻回前一页，拿起铅笔尝试着自己画些草图，然后又接下去读了一点儿，再尝试着解决一个问题；而在绝大部分情况下，你在解决问题的过程中可能又要再读一点儿。就像在做菜时，“慢火”才能做出层次更深的滋味，我也鼓励你“慢读”本书，这样你才能从更深层次懂得数学的真义。

如果你在读某章时觉得实在很难，那你可以跳过这一章，换一下思路。但不要忘了之后要回到对你来说有难度的那一章。在将来的某一天，你有了一种不同的心情，换了一个不同的角度，多了一点儿数学知识，或许你就会发现自己的脑海里出现了一条崭新的数学思路。

当新思路出现时——你如果坚持阅读、与自己或他人讨论本书，它一定会出现的——请好好享受这一得到启示的安静时刻。当你经历过好几个这样的时刻后，你离唤醒自己心中的数学家的那一刻就越来越近了。