来源 | 大小吴的数学课堂

在中国先秦哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

第一天截下 ，第二天截下 ，······，第 天截下 ，······这样就可以得到一个数列

不难看出，数列 的通项 随着 的无限增大而无限地接近于 ，称 为数列 的极限。

2 要多小有多小，要多大有多大

然而这里会出现一个问题。虽然用一般的话说，所谓“无限接近于 ”的意思是很清楚的。但从数学家的角度来看，这种说法非常的不确切。

数列 “无限地接近于 ”用数学的语言说就是 和 的距离 ''逐渐变小''。

然而，所谓“小”怎样才算是小呢？比如说亿分之一，即 ，这个数对于一般人来说已经足够小了，但是对于研究基本粒子的原子物理学家们来说，这可是非常大的数，因为电子只有 kg，反之，对于可观测宇宙的直径——930 亿光年来说，即使是 1 亿（米）也只是一个微乎其微的数。

那么，极限到底意味着什么呢？换句话说，如何用数学的语言来描述极限呢？

3 高中数学对于数列极限的定义

首先来看看高中数学课本中对于数列极限的描述与定义，以沪教版高中数学课本（高二年级第一学期）为例：

一般地，在 无限增大的变化过程中，如果无穷数列 中的 无限趋近于一个常数 ，那么 叫做数列 的极限，或叫做数列 收敛于，记作

显然，这样的定义是不严谨的，“无限趋近”与上文所描述的“无限接近”、“逐渐变小”等字眼含义相近，都是模糊不清的说法。高中课本给出这样的定义是为了便于高中生直观地理解，并不对其作严格的要求。

3 大学数学对于数列极限的定义

再来看看大学数学对极限是怎样描述的，以华东师范大学《数学分析》（上册）为例：

设 为数列， 为定数。若对任给的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时有

则称数列 收敛于，定数 称为数列 的极限，并记作

这个定义是对于数列极限的严格定义，常称为数列极限的 定义，源于著名德国数学家，被誉为“现代分析之父”的魏尔斯特拉斯，他最先提出 和 语言（分别对应数列与函数），使之成为分析学的基石。

在这里我们来假想一个“攻击军营”的战争游戏吧。

有一支军队，其中有士兵 ，，，···，，···。假设这支军队想攻占敌方防御部队的大本营，记敌方军营为 ，为了抵御军队的进攻，防御部队将在 的周围（距离为 ）布防设立阵地，使攻击部队 ，，，···，，···不能靠近本阵地 。

当攻击军队在 阵地， 阵地， 阵地，……所有的战斗中都胜利时，就可以说攻击军队打赢了突入军营 的战争。

我们从进攻与防御军队的指挥官的视角出发：

防御军指挥官：“我在 的左右修筑了宽度为 0.1 的阵地。”

进攻军指挥官：“虽然我的士兵 都倒在了阵地外面，但是从 4 号开始的 ，，···全体成员都冲进去了，所以我们胜利了。”

防御军指挥官：“那我在 的左右继续修筑宽度为 0.01 的阵地。”

进攻军指挥官：“虽然我的士兵 都倒在了阵地外面，但是从 7 号开始的 ，···全体成员都冲进去了，所以我们又胜利了。”

防御军指挥官：“我可以在 的左右修筑宽度为任意小的正数 的阵地。”

进攻军指挥官：“哦，好的。为了让 ，只要使 ，即 ，我只要取 ( 表示不大于 的最大整数)，那么当 时，从编号 开始的全体成员都可以冲进去。所以我们还是胜利的，奥利给！“

防御军指挥官：“我……没辙了。”

至此，进攻军队 打赢了突入军营 的战争。

实际上，这个过程就是对于数列极限 定义的描述，我们证明了数列 的极限就是 0，你理解了吗？

参考文献[1]华东师范大学.高级中学课本（第二版）-数学（高中二年级第一学期）[Z].上海教育出版社，2008.[2]华东师范大学.数学分析（第三版上册）[Z].高等教育出版社，2001.[3]（日）远山启.数学与生活[M].吕砚山等译.人民邮电出版社，2014.